Travelling wave solutions to the K-P-P equation: alternatives to Simon Harris’ probabilistic analysis

Recently Harris [Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 129 (1999) 503], using probabilistic methods alone, has given new proofs for the existence, asymptotics and uniqueness of travelling wave solutions to the K-P-P equation. Following in this vein we outline alternative probabilistic proofs. Specifically the techniques are confined to the study of additive and multiplicative martingales and spinal path decompositions along the lines of [B. Chauvin, A. Rouault, Probab. Theory Related Fields 80 (1988) 299], [R. Lyons, in: K.B. Athreya, P. Jagers (eds.), Classical and Modern Branching Processes, Vol. 84, Springer-Verlag, New York, 1997, pp. 217–222] and [R. Lyons et al., Ann. Probab. 23 (1995) 1125]. We also make use of a new decomposition where the spine is a conditioned process. Some new results concerning martingale convergence are obtained as a by-product of the analysis.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Harris a récemment donné [Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 129 (1999) 503], par des méthodes purement probabilistes, de nouvelles preuves de l’existence, du comportement asymptotique et de l’unicité des propagations d’onde de l’équation KPP. En suivant la même veine, nous indiquons des preuves probabilistes alternatives. Les techniques sont limitées à l’étude de martingales additives et multiplicatives ainsi qu’aux décompositions « spinales » des trajectoires, employées dans [B. Chauvin, A. Rouault, Probab. Theory Related Fields 80 (1988) 299], [R. Lyons, dans : K.B. Athreya, P. Jagers (eds.), Classical and Modern Branching Processes, Vol. 84, Springer-Verlag, New York, 1997, pp. 217–222] et [R. Lyons et al., Ann. Probab. 23 (1995) 1125]. Nous utilisons également une nouvelle décomposition à partir d’un processus conditionné. De nouveaux résultats sur la convergence des martingales sont obtenus, chemin faisant.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved.